Langkah Awal Menuju OSN : Lautan Soal " Master Aljabar & Bilangan"

No. 1.
Nilai dari $2^{4}.4^{8}.8^{16}$ adalah ....
Solution
nilai dari $2^{4}.4^{8}.8^{16}$ adalah $2^{4+8\times 2+16\times 3}=2^{68}$

No. 2.
Banyaknya pasangan bilangan bulat positif (m, n) sedemikian sehingga $m^{4}+ n = 100000001$ adalah ....
Solution
Karena $100^{4} = 100000000$ , (100, 1) adalah salah satu solusi yang memenuhi. Kenyataannya, m merupakan sebarang bilangan bulat positif paling besar 100, dan ada tunggal bilangan bulat positif n sedemikian sehingga $m^{4}+ n = 100000001$ , untuk suatu bilangan m. Jadi, banyaknya pasangan bilangan (m,n) ada sebanyak 100 pasang.

No. 3.
Jika $(1+x)(1+x^{2})(1+x^{3})(1+x^{4})(1+x^{5})$ dijabarkan, koefisien dari $x^{9}$ adalah ...

Solution
Untuk menyelesaikan soal ini, kita sama saja menghitung banyaknya cara memilih bilangan-bilangan 1, 2, 3, 4, dan 5 sehingga jumlahnya 9 dengan ketentuan masing-masing bilangan digunakan paling banyak satu kali. Sehingga ada 3 cara, yakni $1+3+5, 2+3+4, dan 4 + 5$ . Jadi: koefisien dari $x^{9}$ adalah 3.

No. 4.
Jika a dan b dua bilangan real yang memenuhi $a+b-ab=1$ dan a bukan bilangan bulat, maka tunjukan bahwa b merupakan bilangan bulat positif.
Solution
Dari $a+b-ab=1$ , maka kita dapat menulis $b(1-a)=1-a$ . Karena a bukan bilangan bulat, $1 - a\neq 0$ . Sehingga dari persamaan $b(1-a)=1-a$ , b = 1. Jadi, b merupakan bilangan bulat positif.

No. 5.
Bilangan tidak nol $a, b, c, x, y, z$ sedemikian sehingga $\frac{x}{a}=\frac{y}{b}=\frac{z}{c}$ . Nilai dari $\frac{xyz(a+b)(b+c)(c+a)}{abc(x+y)(y+z)(z+x)}=...$
Solution
Misalkan $\frac{x}{a}=\frac{y}{b}=\frac{z}{c}=r$ . Maka
(1) $\frac{xyz}{abc}=r^{3}$
(2) $x = ra, y = rb, z = rc.$
Dari (2), maka kita peroleh:
$x+y=r(a+b), y+z=r(b+c), z+x=r(c+a).$ . Hal ini berakibat: $\frac{x+y}{a+b}=\frac{y+z}{b+c}=\frac{z+x}{c+a}=r$ . Ekspresi $\frac{xyz(a+b)(b+c)(c+a)}{abc(x+y)(y+z)(z+x)}=r^{3}(\frac{1}{r^{3}})=1.$

No. 6.
Jika k bilangan rasional sedemikian sehingga $\sqrt[3]{9\sqrt{3}-11\sqrt{2}}=\sqrt{3}+k\sqrt{2},$ , maka nilai dari k adalah ...
Solution
Dari persamaan pada soal, kita peroleh:
$9\sqrt{3}-11\sqrt{2}=(\sqrt{3}+k\sqrt{2})^{3}=3\sqrt{3}+9k\sqrt{2}+6k^{2}\sqrt{3}+2k^{3}\sqrt{2}.$
Hal ini berakibat:
$(1). 9=3+6k^{2}, k=\pm 1$
$(2). -11=9k+2k^{3}, k < 0.$
Jadi, $k=-1.$

No. 7.
Bilangan bulat memiliki 1001 digit dimana semua angkanya adalah 1. Jika bilangan tersebut dibagi 1001, maka sisanya adalah ...
Solution
Perhatikan bahwa, Bilangan 111111 habis dibagi 1001. Sekarang $1001=6\times 166+5$ . Jadi sisa yang dimaksud pada soal sama dengan mencari sisa pada pembagian 111111 dibagi 1001, yakni 100.

No. 8.
Pasangan bilangan bulat positif (a, b) sedemikian sehingga ketiga akar-akar persamaan $x^{3}-10x^{2}+ax-b=0$ bilangan bulat positif adalah ...
Solution
Misalkan akar-akar bilangan bulat positif tersebut pada soal adalah $r\leq s\leq t$ . Maka $x^{3}-10x^{2}+ax+b=(x-r)(x-s)(x-t)$ . Dari penjabaran persamaan terakhir, $x^{3}-(r+s+t)x^{2}+(rs+st+rt)x-rst=0$ . Sehingga $r+s+t=10$ . Kemungkinan pasangan bilangan (r,s,t) adalah (1,1,8), (1,2,7),(1,3,6), (1,4,5),(2,2,6),(2,3,5),(2,4,4), dan (3,3,4).
Jadi, banyaknya pasangan bilangan (r,s,t)ada 8 pasang.

Langkah Awal Menuju OSN

Kata Pembuka

Cari Blog Ini

Lautan Soal " Master Aljabar & Bilangan"

Tidak ada komentar:

Posting Komentar

Bagaimana kondisi siswa peserta OSN Matematika dalam IMO?

Foto Keluarga (Mr. Di2k dg Rahayu Lestari) (Putri Tercinta)

Entri Populer

Mengenai Saya