No. 1.
Nilai dari
adalah ....
Solution
nilai dari
adalah
No. 2.
Banyaknya pasangan bilangan bulat positif (m, n) sedemikian sehingga
adalah ....
Solution
Karena
, (100, 1) adalah salah satu solusi yang memenuhi. Kenyataannya, m merupakan sebarang bilangan bulat positif paling besar 100, dan ada tunggal bilangan bulat positif n sedemikian sehingga
, untuk suatu bilangan m. Jadi, banyaknya pasangan bilangan (m,n) ada sebanyak 100 pasang.
No. 3.
Jika
dijabarkan, koefisien dari
adalah ...
Solution
Untuk menyelesaikan soal ini, kita sama saja menghitung banyaknya cara memilih bilangan-bilangan 1, 2, 3, 4, dan 5 sehingga jumlahnya 9 dengan ketentuan masing-masing bilangan digunakan paling banyak satu kali. Sehingga ada 3 cara, yakni
.
Jadi: koefisien dari
adalah 3.
No. 4.
Jika a dan b dua bilangan real yang memenuhi
dan a bukan bilangan bulat, maka tunjukan bahwa b merupakan
bilangan bulat positif.
Solution
Dari
, maka kita dapat menulis
=1-a "b(1-a)=1-a")
. Karena a bukan bilangan bulat,
. Sehingga dari persamaan
, b = 1. Jadi, b merupakan bilangan bulat positif.
No. 5.
Bilangan tidak nol
sedemikian sehingga
. Nilai dari
(b+c)(c+a)}{abc(x+y)(y+z)(z+x)}=... "\frac{xyz(a+b)(b+c)(c+a)}{abc(x+y)(y+z)(z+x)}=...")
Solution
Misalkan
. Maka
(1)
(2)
Dari (2), maka kita peroleh:
, y+z=r(b+c), z+x=r(c+a). "x+y=r(a+b), y+z=r(b+c), z+x=r(c+a).")
. Hal ini berakibat:
. Ekspresi
(b+c)(c+a)}{abc(x+y)(y+z)(z+x)}=r^{3}(\frac{1}{r^{3}})=1. "\frac{xyz(a+b)(b+c)(c+a)}{abc(x+y)(y+z)(z+x)}=r^{3}(\frac{1}{r^{3}})=1.")
No. 6.
Jika k bilangan rasional sedemikian sehingga
, maka nilai dari k adalah ...
Solution
Dari persamaan pada soal, kita peroleh:
^{3}=3\sqrt{3}+9k\sqrt{2}+6k^{2}\sqrt{3}+2k^{3}\sqrt{2}. "9\sqrt{3}-11\sqrt{2}=(\sqrt{3}+k\sqrt{2})^{3}=3\sqrt{3}+9k\sqrt{2}+6k^{2}\sqrt{3}+2k^{3}\sqrt{2}.")
Hal ini berakibat:
. 9=3+6k^{2}, k=\pm 1 "(1). 9=3+6k^{2}, k=\pm 1")
. -11=9k+2k^{3},k < 0. "(2). -11=9k+2k^{3}, k < 0.")
Jadi,
No. 7.
Bilangan bulat memiliki 1001 digit dimana semua angkanya adalah 1. Jika bilangan tersebut dibagi 1001, maka sisanya adalah ...
Solution
Perhatikan bahwa, Bilangan 111111 habis dibagi 1001. Sekarang
. Jadi sisa yang dimaksud pada soal sama dengan mencari sisa pada pembagian 111111 dibagi 1001, yakni 100.
No. 8.
Pasangan bilangan bulat positif (a, b) sedemikian sehingga ketiga akar-akar persamaan
bilangan bulat positif adalah ...
Solution
Misalkan akar-akar bilangan bulat positif tersebut pada soal adalah
. Maka
(x-s)(x-t) "x^{3}-10x^{2}+ax+b=(x-r)(x-s)(x-t)")
. Dari penjabaran persamaan terakhir,
x^{2}+(rs+st+rt)x-rst=0 "x^{3}-(r+s+t)x^{2}+(rs+st+rt)x-rst=0")
. Sehingga
. Kemungkinan pasangan bilangan (r,s,t) adalah (1,1,8), (1,2,7),(1,3,6), (1,4,5),(2,2,6),(2,3,5),(2,4,4), dan (3,3,4).
Jadi, banyaknya pasangan bilangan (r,s,t)ada 8 pasang.